環(huán)球消息！用鏈式鎖子甲近似彼此接觸的正多邊形圖案
女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
一個新坑，數(shù)學手工系列，希望老少爺們兒喜歡。
(資料圖)
很多藝術(shù)家喜歡用正多邊形創(chuàng)建圖案，并探索它們的屬性。隨著計算機圖形程序的出現(xiàn)，這變得更容易了。從Mac Plus上的SuperPaint開始，發(fā)展到iPad上的Graphic(同時使用CorelDraw的各種版本)，藝術(shù)家已經(jīng)能夠在繪制過程中嘗試許多想法。
圓形跳環(huán)(金屬環(huán)，其兩端接觸但不連接)可以表現(xiàn)多邊形圖案，它是用完全由多邊形環(huán)組成的圖案完成的。在這種情況下，人們可以為每個多邊形環(huán)使用一個跳環(huán)。然而，許多圖案也有其他組件，所以相反，可以把每個多邊形解釋為一個單獨的跳環(huán)，就好像這個環(huán)代表了多邊形的輪廓。這類似于[2]中多邊形被表示為珠子的方式。
圖1：使用鏈式鎖子甲的規(guī)則多邊形圖案近似[3]：
(a)邊緣接觸的18邊形圖案，(b)相應的鏈式鎖子甲。
圖案轉(zhuǎn)換
讓我們考慮一種彼此接觸的正多邊形的圖案。這是有意義的，我們將能夠把多邊形均勻地分開，并且仍然得到一個“有效”的圖案。它基本上只是增加帶有邊框的圖案中每個多邊形的大小。這就是當我使用鎖子甲來表示圖案時所發(fā)生的情況；正多邊形由主跳環(huán)的內(nèi)部表示，額外部分由連接環(huán)的內(nèi)徑跨越。
使用內(nèi)徑盡可能小的連接環(huán)(這樣它們將幾乎不環(huán)繞兩個主環(huán))將產(chǎn)生接近原始多邊形圖案的片。多個量規(guī)可用于相同模式的主環(huán)，只要它們都具有相同的內(nèi)徑，并且它們安裝在連接環(huán)內(nèi)。如果我們沿著連接器定義的平面看一條線段，我們可以看到一個類似于將圖案轉(zhuǎn)換為珠子鉤針時使用的針腳的圖案[2]。
圖2：轉(zhuǎn)換邊接觸多邊形的模式以用于跳躍環(huán):
(a)邊緣接觸的18邊形圖案，其中心圖案被鏈條代替[3]，
(b)圖案的放大樣本。
(c)進一步放大一些18邊形，
(d)多邊形內(nèi)切圓和相鄰圓的中心相連的樣品，
(e)進一步放大相同的18邊形及其內(nèi)切圓，
(f)對應于樣品的鏈狀件的放大部分，
(g)進一步放大對應于18邊形的環(huán)。
圖3：進行中的工作[3]：(a)18邊形的圖案，(b)帶有跳環(huán)和鉗子的部分完成的部分，(c)大部分完成的部分，(d)過程中的一些步驟。
環(huán)
在某些情況下，我自己制作跳環(huán)，而不是購買。為了得到精確大小的內(nèi)徑，我發(fā)現(xiàn)編織針提供了易于獲得的軸來纏繞電線。在作業(yè)一段之前，我打開了一些較大的主環(huán)，并關(guān)閉了一些較小的連接環(huán)。將主環(huán)鉤在適當?shù)奈恢茫⒃谄渖咸砑舆m當數(shù)量的連接器環(huán)，而不是將每個環(huán)都關(guān)閉，這更容易(圖3b)。
展示
環(huán)在某種程度上是自由移動的，所以最終的鎖甲甲片可能不完全匹配原來的圖案，但有很多方法可以解決這個問題。一個相對簡單的選擇是使用鋼環(huán)(不是不銹鋼)，這樣工件就可以排列在磁性片上。
另一種方法是在多邊形環(huán)的后面或里面添加額外的更大的環(huán)，使它們保持大致的圓形排列?；蛘?，可以添加特定尺寸的附加環(huán)來將部件組合在一起。在圖2的鏈甲部分，添加了一些橢圓環(huán)，將部分捏在一起，以匹配原始的多邊形圖案。
當然，它們也可以被縫制或釘在布料或軟木襯墊上。但它也可能被證明是一種美學上令人愉悅的混合安排，將織物或其他材料附著在多邊形環(huán)和其他有趣的結(jié)構(gòu)后面，留下其他區(qū)域。
圖4：使用珠子連接：(a)多邊形圖案，(b)用圓環(huán)表示多邊形和珠子表示公共邊，(c)珠子和圓環(huán)的特寫。
圖5：作為連接器的線圈和彈簧:
(a)由裝訂環(huán)和切割裝訂線圈制成的3D形狀，
(b)來自圖4的圖案，使用環(huán)作為多邊形，彈簧作為共享邊，
(c)圖5b的特寫。
一些變化
沒有必要使用圓形連接環(huán)；長方形的環(huán)也可以。甚至可以用一個或兩個孔的珠子代替連接環(huán)，仍然可以連成圖案(圖4)。對于只有一個孔的珠子，線的規(guī)格必須足夠細以穿過孔兩次。因此，珠子(邊緣)的圖案可以支配環(huán)(多邊形)的圖案。如果我用非常小的珠子來做，最終的作品可能會太精致而無法粗略處理。
線的規(guī)格可以變化，以此強調(diào)圖案。如果開口和長度大小合適，可以用小彈簧或線圈代替連接環(huán)，就像我用大裝訂環(huán)和裝訂線圈制作三維圖形一樣(圖5)。
圖6：使用不同類型的鏈接適應等邊線段圖案
總之，鏈式鎖子甲通常包含更多復雜的環(huán)(或鏈環(huán))如何編織在一起。幾何學家可能會對Frank Farris使用鏈式郵件[1]將非平面鏈接用于形成壁紙圖案感興趣。
參考文獻
[1] F. Farris. “Wallpaper Patterns from Nonplanar Chain Mail Links.”?Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 1-5, 2020, pp. 183-190.?http://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020-183.html
[2] R. Sunder-Raj. “Approximating Edge-Touching Regular Polygon Patterns Using Crocheted Bead Lace.”?Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 2-3, 2021, pp. 281-284.?http://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-281.html
[3] R. Sunder-Raj. “Chain Maille From Patterns of Regular Polygons.” 2021.?https://twitter.com/i/moments/ 1498453083180908548
[4] Rashmi Sunder-Raj, Approximating Edge-Touching Regular Polygon Patterns Using Chain Maille
